一題國小五年級的數學問題－(２)

(２)  農夫在柑園重了４０棵柑樹

每顆年產600個柑子

若在此園中

每少重一顆；則每顆每年多產20個柑子。

問應少種幾棵

才能使此園的年產量達到最大？請列出算式與說明原因

謝謝！

這一題應該以國中數學二次函數解答較為正規。

而對於國小５年級

就要用偏門一點的解法了………１．首先介紹國中數學的解法假設果園中少種χ棵樹可達最大產量則產量的算式則為　產量＝(40－χ)‧(600＋20χ)推演算式　產量＝－20(χ平方)＋200χ＋24000　　　　　　　＝－20（(χ平方)－10χ）＋24000　　　　　　　＝－20（(χ平方)－10χ＋25）＋24000＋500　　　　　　　＝－20‧〔（χ－5）的平方〕＋24500為消去負值

則讓χ＝5時

使負值成為０此時可達到最大產量２４５００個２．接下來講適合國小學生的『非正規解法』

也就是旁門左道：～～這一題

用列表的方式會清楚一些

從列表當中尋求數字變化的規律：╔══╦════════╦══════╦════════╦═════╗║少種║　　留存果樹　　║　少種而損失║　實際增加　　　║數字規律　║║的樹║　　的增產量　　║　的水果數量║　的數量　　　　║的變化　　║╠══╬════════╬══════╬════════╬═════╣║１棵║39棵×(20×1)＝780 .║600×1＝600　║780－600＝180.　║　　　　　║╠══╬════════╬══════╬════════╬═════╣║２棵║38棵×(20×2)＝1520║600×2＝1200.║1520－1200＝320..║比180多140║╠══╬════════╬══════╬════════╬═════╣║３棵║37棵×(20×3)＝2220║600×3＝1800.║2220－1800＝420..║比320多100║╠══╬════════╬══════╬════════╬═════╣║４棵║36棵×(20×4)＝2880║600×4＝2400.║2880－2400＝480..║比420多60..║╠══╬════════╬══════╬════════╬═════╣║５棵║35棵×(20×5)＝3500║600×5＝3000.║3500－3000＝500..║比480多20..║╠══╬════════╬══════╬════════╬═════╣║６棵║34棵×(20×6)＝4080║600×6＝3600.║4080－3600＝480..║比500少20..║╚══╩════════╩══════╩════════╩═════╝從上面的表格中就已經發現－－少種５棵樹

可達最大產量～～增加500個今天是題目湊巧

才到第５格就已經有答案了如果答案是要到很後面才找到

就要用數字的規律變化來找像上面的表格中『數字規律變化』那一欄就可發現增加數量從１８０→→→３２０→→→４２０→→→４８０→→→５００→→→４８０　　　　多了140　　　多100　　　　多60　　　　多20　　『少了』20 　　　　　╰降低40╯　╰降低40╯　╰降低40╯　╰降低40╯如果答案在很後面才找到

就把每次『增加量之間的差距』

每次減40直到這個差距『從多變到少（增加量降低）』或是『多0（不再增加）』為止.再推算那時候所少種的果樹

就可得到答案了。

最笨的方法40×600＝2400039×620＝2418038×640＝2438037×660＝2442036×680＝2448035×700＝2450034×720＝2448033×740＝2442032×760＝2432031×780＝2418030×800＝24000答：種35棵
每少一棵

每棵多產20個原本有40×600=24000個少一棵39×620=24180個 跟原本的多180個少兩棵38×640=24320個 跟少一棵的多140個少三棵37×660=24420個 跟少兩棵的多100個少四棵36×680=24480個 跟少三棵的多60個少五棵35×700=24500個 跟少四棵的多20個少六棵34×720=24480個 跟少五棵的少20個由此可知少第一棵時多了180個但每再少一棵時卻是多了前一次的少40個所以少一個 兩個 三個 四個 五個 六個............多的是 180 140 100 60 20 -20............到少第六棵時已經不增反減了所以少五棵可以到最大產量24500個或可以用方程式解假設少ㄌX棵(40-X)×(600 20X)24000 200X-20(X^2)-20(X-5)^2 24500得知X=5時 有最大值(即最大產量)為24500個
少種0棵

所得柑子數：40*600=24000少種1棵

所得柑子數：(40-1)600 20*1*(40-1)=24180少種2棵

所得柑子數：(40-2)600 20*2*(40-2)=24320少種3棵

所得柑子數：(40-3)600 20*3*(40-3)=24420少種4棵

所得柑子數：(40-4)600 20*4*(40-4)=24480少種5棵

所得柑子數：(40-5)600 20*5*(40-5)=24500少種6棵

所得柑子數：(40-6)600 20*6*(40-6)=24480少種7棵

所得柑子數：(40-7)600 20*7*(40-7)=24420由以上結果看來

在少種5棵果樹時

所得的柑子數為最多

之後每多種一棵

柑子數目則遞減

由於可以少棵五棵果樹

此時的年產量24500為最多。

設 減少X棵柑樹

最大年產量是Y個柑子Y = (40-X) (600 20X)Y = 24000 800X - 600X - 20X^2Y = - 20X^2 200X 24000Y = - 20 (X^2 - 10X) 24000 Y = - 20 (X^2 - 10X 25) 24000 500Y = - 20 (X - 5)^2 24500當 X - 5 = 0

X = 5 時會有最大年產量 Y= 24500所以應該少種 5棵柑樹...則會有最大年產量 24500顆柑子

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