4142

證明存在無窮大的自然數_00002

根號2=1.414.... 根號2是一個無理數 小數點後的位數是無窮的 是一個具有無窮概念的數 根號2=1.4142...=1*10^0 4*10^(-1) 1*10^(-2) 4*10^(-3) 2*10^(-4) ...根號2的展開式裡可以看到 指數 都是負整數或0 也就是 負的自然數或0現在 建立一個新的數 將根號2 展開式裡面的 指數 都變成正的 也就是自然數 這是一個新的概念 以符號M(根號2) 表示M(根號2)=1*10^0 4*10^(1) 1*10^(2) 4*10^(3) 2*10^(4) ...自然數公理 1是自然數 自然數的後繼是自然數現在 開始將 M(根號2)慢慢 一次-1M(根號2)-1=1*10^0 4*10^(1) 1*10^(2) 4*10^(3) ...-1=4*10^(1) 1*10^(2) 4*10^(3) ...再-1 可得到M(根號2)-1-1=4*10^(1) 1*10^(2) 4*10^(3) 2*10^(4) ...-1=9*10^0 3*10^1 1*10^(2) 4*10^(3) 2*10^(4) ...再-1 ... 如此一直下去 是一個無窮的步驟 等到 指數為1的係數變為0指數為2的係數也為0...指數都是自然數 也都能因為-1而使係數變為0也就是說 你減了無窮多個1 並且 由-1 開始由 自然數公理 可知 M(根號2) 是一個自然數 由 根號2 我們可知M(根號2)是一個無窮的數 是一個無窮大的數 因此M(根號2)是一個無窮大的自然數 也就是 無窮大的自然數 存在為了輔助說明上述證明 以下每一個步驟由5個數學算式組成 有無窮多個步驟1.根號2-根號2=1.4142...-1.4142...=02.M(根號2)-M(根號2)=...24141-...4141=03.(根號2)-1=1.4142...-1=0.4142...4.M(根號2)-1=...24141-1=...241405.0 1=11.根號2-根號2=1.4142...-1.4142...=02.M(根號2)-M(根號2)=...24141-...24141=03.(根號2)-1=1.4142...-1=0.4142...4.M(根號2)-1=...24141-1=...241405.0 1=11.根號2-根號2=1.0142...-1.0142...=02.M(根號2)-M(根號2)=...24101-...24101=03.(根號2)-1-0.1=1.4142...-1-0.1=0.3142...4.M(根號2)-1-1-1=...24141-1-1-1=...241385.0 1 1 1=3...1.根號2-根號2=1.41421356037...-1.41421356037...=02.M(根號2)-M(根號2)=...730653124141-...730653124141=03.(根號2)-1-0.1=1.4142...-1-0.1=0.3142...4.M(根號2)-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=...24141-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=...241305.0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1=111.根號2-根號2=1.41421356207...-1.41421356207...=02.M(根號2)-M(根號2)=...702653124141-...702653124141=03.(根號2)-1-0.1-0.1=1.4142...-1-0.1-0.1=0.2142...4.M(根號2)-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=...24141-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=...241295.0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1=12.....直到1.根號2-根號2=1.4142...-1.4142...=02.M(根號2)-M(根號2)=...24141-...24141=03.(根號2)-1-0.1-0.1-0.1-...=1.4142...-1-0.1-0.1...=04.M(根號2)-1-1-1-1-...=...24141-1-1-1-1....=05.0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...=...24141
無窮小相乘或無窮小之線性組合為無窮小

非零無窮小之倒數為無窮大

零為唯一之實無窮小

等等之理易由定義推知。

其他較複雜之情形則可由運算推出。

上述無窮小及無窮大運算法與極限法運算極為類似。

對於有限超實數

我們還有下述定理： 標準部存在定理：任一有限超實數 x 必可表為唯一之實數 a 以及唯一無窮小 之和。

此定理中之存在性可由實數之完備性（見 [1]）推出。

唯一性是因為如 為實無窮小

故必為零。

上述定理中之實數 a 稱為超實數 x 之標準部

記為 st(x)。

換另一種說法

我們不妨稱二相差為無窮小的超實數 a

b 為無限接近（記為 ）則一超實數 x 必與唯一之實數 st(x) 無限接近。

無窮小之標準部顯然為零。

自然數的皮亞諾公理系基本概念1自然數集合後繼五公理:(1) 1 屬於 N。

(2) 若 x 屬於 N

則 x